मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\{x\}$ और $[x]$ एक वास्तविक संख्या $x$ के भिन्नात्मक भाग और $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाते हैं। यदि $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ और $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ एक $G.P.$ के तीन लगातार पद हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।

यदि परवलय $y = ax^2 + bx + c$ के शीर्ष का भुज $1$ $(a, b, c > 0)$ है और $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ एक निरंतर वर्धमान फलन है $\forall x \in R$ के लिए,तो $[\frac{a}{c}]$ का अधिकतम संभव मान क्या है (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ का अस्तित्व है,तो $\int_{0}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ और $g(x)$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन (inverse functions) हैं,जहाँ $f(1) = 3$ और $f(3) = 1$ है,तो $\int_{1}^{3} \left( g(x) + \frac{x}{f'(g(x))} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।